Himpunan dan Logika Matematika

BAB I

LOGIKA MATEMATIKA

A.                 DASAR-DASAR LOGIKA

Kalimat Pernyataan

Kalimat pernyataan (Proposisi) adalah kalimat yang menyatakan sesuatu yang mempunyai satu dari dua kemungkinan nilai kebenaran yaitu benar atau salah..

Berikut ini adalah beberapa contoh Proposisi :

a.                   Mari kita menjaga kebersihan

b.                   4 adalah bilangan prima (salah)

c.                   Jakarta adalah ibukota negara Indonesia

d.                   Penduduk Indonesia berjumlah 50 juta (salah)

Perhatikan, kalimat-kalimat (b),(c),dan (d) menerangkan atau menyatakan sesuatu. Kalimat-kalimat tersebut mempunyai nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar atau salah. Kalimat yang demikian disebut pernyataan atau proposisi. Pernyataan c bernilai benar karena kenyataannya memang demikian. Pernyataan b bernilai salah. Adapun pernyataan b dapat ditentukan nilai kebenaranny sesuai dengan faktanya. Perhatikan bahwa kalimat a tidak menyatakan sesuatu. Oleh karena itu, kalimat tersebut bukan pernyataan. Benar atau salahnya suatu pernyataan disebut nilai kebenaran dari pernyataan tersebut. Suatu pernyataan yang nilai kebenarannya ditentukan oleh fakta atau data empiris, misalnya berdasarkan hasil observasi, disebut pernyataan empiris. Adapun pernyataan yang nilai kebenarannya dapat diterima secara langsung oleh akal pikiran, misalnya berdasarkan definisi atau fakta-fakta dalam matematika, disebut pernyataan absolut (mutlak).

Kalimat terbuka

kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat suatu variabel (peubah) yang jika diganti dengan suatu nilai atau konstanta dari himpunan semestanya, maka akan menjadi pernyataan.

Variabel (peubah) adalah lambang yang belum mempunyai nilai tertentu yang menunjuk anggota tertentu dari himpunan semestanya. Adapun pengganti peubah pada suatu kalimat terbuka yang menyebabkan kalimat terbuka tersebut menjadi pernyataan yang bernilai benar disebut penyelesaian. Himpunan semua penyelesaian kalimat terbuka disebut himpunan penyelesaian.

perhatikan  kalimat-kalimat berikut.

a.                   P + 3 = 7

b.                   Candi borobudur terletak di provinsi X.

Kalimat-kalimat tersebut belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena masih memuat lambang yang belum mempunyai nilai tertentu sehingga disebut kalimat terbuka. Notasi (lambang) yang belum mempunyai nilai tertentu tersebut dinamakan variabel (peubah).

Pada kalimat (a), jika p diganti bilangan 4, maka akan diperoleh pernyataan “4+3=7” yang bernilai benar. Adapaun jika p diganti selain bilangan 4, misalnya 5, maka akan menghasilkan pernyataan “5+3=7” yang bernilai salah. Dalam hal ini, bilangan 4 disebut penyelesaian kalimat terbuka tersebut, sedangkan bilangan 5 bukan penyelesaian. Adapun pada kalimat (b), jika X diganti Jawa Tengah, maka akan menghasilkan pernyataan yang bernilai benar, yaitu ” Candi Borobudur terletak di Provinsi Jawa Tengah “. Dalam hal ini, Jawa Tengah adalah penyelesaian kalimat terbuka tersebut.  

NEGASI (INGKARAN) →  ~

Negasi merupakan pernyataan yang menyangkal atau mengingkari sesuatu. Dengan kata lain, suatu pernyataan dengan negasi yang mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan.

Negasi pernyatan p adalah –p atau ~p.

Tabel 1.1:

P	~P	~(~p)
B	S	B
S	B	S

Contoh: Tuliskan negasi dari pernyataan berikut!

a.       2 bilangan prima.                     b. Ayu lulus ujian.

Penyelesaian:

a.                   Misalkan p: 2 bilangan prima

Maka ~p: 2 bukan bilangan prima.

b.                   Misalkan q: ayu lulus ujian

Maka ~q: ayu tidak lulus ujian.

B.                 PENGHUBUNG KALIMAT DALAM LOGIKA

Pada logika matematika waktu SMA kita mengenal yang namanya penghubung kalimat dan, atau, jika...maka..., ...jika dan hanya jika.... Dalam Logika Informatika juga tidak jauh beda dengan logika matematika. Kalimat penghubung tersebut yang nantinya akan mengkombinasikan antara proposisi- proposisi lain yang kemudian membentuk proposisi yang baru. Dari kombinasi tersebut disebut dengan proposisi majemuk, sedangkan proposisi yang bukan merupakan hasil dari kombinasi proposisi lain disebut dengan  proposisi atomik. Proposisi majemuk tersusun dari sejumlah proposisi atomik.

Logika hanya berhubungan dengan bentuk-bentuk logika dari argumen-argumen serta penarikan kesimpulan tentang validasi argumen tersebut. Logika tidak mempermasalahkan arti sebenarnya dari pernyataan tersebut, ataupun isi dari pernyataan tersebut.

contoh : 

-                      Binatang mempunyai dua telinga 

-                       Manusia mempunyai dua telinga

Maka, dapat di ambil kesimpulan bahwa manusia sama dengan binatang 

sperti yang sudah kami katakan di atas, bahwa dalam logika terdapat 5 perangkai logika. 5 tersebut adalah sebagai berikut :

Simbol	Arti
¬	negasi
∧	konjungsi/dan
∨	Disjungsi/atau
→	jika...maka...
↔	jika dan hanya jika

Contoh:

 Jika hari hujan, maka Badu basah kuyub (p→q)

Badu menangkap bola dan menendangnya (p∧q)

1.                   Konjungsi / dan 

Dalam logika matematika maupun Informatika penghubung konjungsi/ dan digunakan symbol ( ∧ ). Konjungsi merupakan pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung tersebut.

contoh :
P= andi seorang pelajar.
Q=andi seorang pemain sepak bola.
 

Jika di rangkai dengan menggunakan penghubung logika konjungsi / dan  maka bentuknya akan menjadi seperti ini P∧Q ( andi seorang pelajar dan pemain sepak bola).

Tabel 1.2:

pP	qQ	P∧Q
bB	bB	B
bB	sS	S
sS	bB	S
sS	sS	S

dari tabel di atas dapat kita ambil kesimpulan bahwa penghubung logika menggunakan   konjungsi / dan bernilai B(benar) pada saat P dan Q semuanya bernilai B(benar). Jadi kalau ada satu pernyataan yang bernilai S(salah) maka akan dinyatakan bernilai S (salah).

2.                   Disjungsi/atau

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan "atau" dengan simbol ( ∨ ). kalimat disjungsi dapat mempunyai 2 makna :

· Inklusif yaitu jika "p benar atau q benar atau kedunya benar”
contoh :
p = 7 adalah bilangan prima
q= 7 adalah bilangan ganjil
p V q = 7 adalah bilangan prima atau ganjil
benar bahwa 7 dapat dikatan bilangan ganjil maupun bilangan prima

·Ekslusif yaitu jika “ p benar atau q benar tetapi tidak keduanya ”
contoh :
p = saya melihat pertandingan bola di TV
q = saya melihat pertandingan bola di stadiun

p V q = saya melihat pertandingan bola di tv atau di stadiun.

hanya salah satu dari dua kalimat penyusunnya yang boleh bernilai benar yaitu jika “saya melihat pertandingan bola di TV saja atau di stadiun saja tetapi tidak keduanya.

Tabel 1.3:

P	Q	P∨Q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

dari tabel kebenaran di atas kita dapat menarik kesimpulan, tabel kebenaran disjungsi tersebut bernilai salah ketika keduanya bernilai salah, sedangkan bernilai benar ketika salah satunya terdapat nilai benar.

3.                   Negasi dari Disjungsi dan Konjungsi

Pada pembahasan sebelumnya kita telah mengetahui bahwa negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan baru yang nilai kebenarannya yang selalu berlawanan dengan nilai kebenaran pernyataan semula. Dengan demikian, negasi dari pernyataan majemuk “p V q” adalah suatu pernyataan majemuk baru yang diperoleh dari “ p V q “ sedemikian sehingga bernilai benar jika “ p V q” bernilai salah, dan sebaliknya. Begitupun negasi dari “ p ˄ q “ adalah pernyataan majemuk yang baru yang diperoleh dari “ p ˄ q “ sedemikian sehingga bernilai benar jika “ p ˄ q “ salah, dan sebaliknya.

Tabel 1.4:

p	q	~p	~q	p V q	~p ˄ ~q	p ˄ q	~p V ~q
B	B	S	S	B	S	B	S
B	S	S	B	B	S	S	B
S	B	B	S	B	S	S	B
S	S	B	B	S	B	S	B

4.                   Implikasi/ Jika . . .maka. . . 

Implikasi adalah dua pernyataan p dan q, ditulis p q dan dibaca “ jika p, maka q”, bernilai salah hanya jika p bernilai benar dan q bernilai salah.

cara mengeksprresikan p → q :
yang pertama adalah Jika p maka q,  contoh : jika hari ini hujan, maka tanaman akan tumbuh subur.

yang kedua adalah Jika p, q,  contoh : jika tekanan gas diperbesar , mobil melaju kencang. yang ketiga adalah p mengakibatkan q (p implies q),  contoh : es kutub mencair mengakibatkan permukaan air laut naik.

yang keempat adalah q jika p, contoh : orang tua itu berangkat jika ia di beri uang saku untuk jalan.

Tabel 1.5 :

pP	qQ	P→Q
bB	bB	B
bB	sS	S
sS	bB	B
sS	sS	B

dari tabel kebenaran di atas dapat diambil kesimpulan bahwa, kita katakan p adalah antiseden sedangkan q adalah konsekuen. Kita lihat dari tabel tersebut implikasi bernilai benar jika antiseden bernilai salah (S) yaitu pada baris ke 3 dan ke 4 dan pada saat konsekuen bernilai benar (B), yaitu pada baris ke 1 dan ke 2.

Contoh:

a.       2x bilangan genap jika x bilangan genap.

b.       X bilangan genap berimplikasi 2x bilangan genap.

Maka, pada implikasi tersebut, “x bilangan genap” merupakan syarat cukup 2x merupakan bilangan genap. Adapun 2x bilangan genap merupakan syarat perlu supaya x merupakan bilangan genap. Namun, 2x bilangan genap bukan syarat cukup supaya x merupakan bilangan genap sebab mungkin saja 2x bilangan genap, tetapi x merupakan bilangan ganjil.

5.                   Biimplikasi / ... jika dan hanya jika ....

Biimplikasi atau bikondisional  adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dalam notasi "p ↔ q" yang bernilai sama dengan "(p → q)∧(q → p)", sehingga dapat dibaca "p jika dan hanya jika q". Biimplikasi dua pernyataan hanya akan bernilai benar jika kedua pernyataan sederhana penyusunnya mempunyai nilai kebenaran yang sama dan bernilai salah jika kedua pernyataan penyusunnya mempunyai nilai kebenaran yang berbeda

contoh :

p : dua garis yang saling berpotongan adalah tegak lurus.

q : dua garis yang saling membentuk sudut 90° 

p ↔ q : dua garis yang saling berpotongan adalah tegak lurus jika dan hanya jika dua garis saling membentuk sudut 90°.

Tabel 1.6 :

p	q	p↔q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

kita dapat menyimpulakan bahwa tabel kebenaran bernilai benar jika kedua pernyataan tersebut bernilai benar (B) atau jika kedua pernyataan bernilai salah (S).

6.                   Negasi dari Implikasi dan Biimplikasi

Negasi dari pernyataan p → q adalah pernyataan majemuk baru yang nilai kebenarannya berlawanan dengan p → q. Apabila Ali duduk dan ternyata Tuti tidak pergi, maka hal itu bertentangan dengan pernyataan “ Jika Ali duduk maka Tuti pergi”. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa negasi dari pernyataan p → q adalah p ˄ ~q. agar lebih yakin, coba perhatikan tabel dibawah ini.

Tabel 1.7:

P	q	~p	~q	p → q	~p →~ q	p  ↔ q	~p↔~q
B	B	S	S	B	S	B	S
B	S	S	B	S	B	S	B
S	B	B	S	B	S	S	B
S	S	B	B	B	S	B	S

C. TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI LOGIKA

1.   TAUTOLOGI

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.

Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran:

1.      (p ʌ  ~q)  p

Pembahasan:

p	q	~q	(p ʌ ~q)	(p ʌ ~q)  p
B B S S	B S B S	S B S B	S B S S	B B B B

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar (B). Maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q)  p selalu benar.

2.   KONTRADIKSI

Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai S atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.

Contoh dari Kontradiksi:

1.      (P ʌ ~P)

Pembahasan:

p	~p	(p ʌ ~p)
B S	S B	S S

Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (p ʌ ~p) selalu salah.

2.      P ʌ (~p ʌ q)

Pembahasan:

p	q	~p	(~p ʌ q)	p ʌ (~p ʌ q)
B B S S	B S B S	S S B B	S S B S	S S S S

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (S).

BAB II

KESIMPULAN

1.      Disjungsi/ atau: p V q bernilai benar jika ada diantara p dan q yang benar, dalam hal lainnya p V q bernila salah.

2.      Konjunsi/dan: p ˄ q bernilai salah jika diantara p dan q yang salah dalam hal lainnya p ˄ q bernilai benar.

3.      Implikasi: p → q bernilai salah jika p benar dan q salah, dalam hal lainnya p → q benar.

4.      Biimplikasi: p ↔ q bernilai benar jika p dan q bernilai sama, dalam hal lainnya p ↔ q salah.

5.      Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar sedangkan,

 Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah.

DAFTAR PUSTAKA

Sembiring, suwah, dkk.. 2008. Matematika bilingual. Bandung: Yrama Widya.